Александр Григорьевич До́бринский родился в 1905 году в городе Романов-Борисоглебск (ныне Тутаев Ярославской области). В 1927 году был призван в ряды РККА. Через два года поступил в Киевское артиллерийское училиище. Член ВКП (б) с 1930 года. По окончании училища служил на офицерских артиллерийских должностях в Приволжском военном округе.

В 1934 году Добринский в должности заместителя командира артдивизиона был направлен на Дальний Восток для дальнейшего прохождения службы. В этот период заочно окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе.

С 1939 года, в период финских событий, А. Г. Добринский был назначен начальником штаба артиллерийской бригады.

А в 1941 году командиром артполка в Каунасе. В октябре 1941 года Александр Григорьевич был назначен заместителем командира — начальником артиллерии 336-й стрелковой дивизии и в конце 1941 года в составе дивизи принимал участие в контрнаступлении советских войск под Москвой.

В декабре 1942 года А. Г. Добринский принял сформированную под Москвой первую гаубичную артиллерийскую бригаду резерва Главного командования, входившую в состав 3-й артдивизии прорыва Резерва Главного Командования (РГК).

Артдивизии прорыва входили в Артиллерию резерва Ставки Верховного Главнокомандования и при подготовке наступления передавались во фронты и армии для количественного и качественного усиления их артиллерийских группировок на направлении главного удара при прорыве хорошо укреплённой и глубокоэшелонированной обороны противника.

С 1944 года командовал 4-й артиллерийской дивизией прорыва РГК. Участвовал в Берлинской и Пражской операциях советских войск. В годы войны был удостоен Грамоты Верховного Главнокомандующего за отличные боевые действия в разгроме немецко-фашистских захватчиков и 6-ти орденов: Красного Знамени — дважды, Красной Звезды, Суворова 2-й и 3-й степеней, Кутузова 2-й степени.

В 1946 году А. Г. Добринский был назначен советником военного атташе при посольстве СССР в Китае. Получил золотую саблю из рук руководителя КНР Мао Цзедуна.

В 1955 году возглавил Одесское артиллерийское ордена Ленина училище имени Фрунзе, которым руководил до 1958 года.

С 1959 года — начальник Тульского артиллерийского ордена Ленина училища имени Тульского пролетариата.

До 1958 года тогда ещё Тульское оружейно-техническое училище готовило воентехников по стрелковому вооружению. Это было сугубо техническое военно-учебное заведение страны. Перед генерал-майором А. Г. Добринским стояла сложнейшая и ответственнейшая задача — в кротчайшие сроки перевести учебный процесс на подготовку командно-технического состава тяжёлой реактивной артиллерии и артиллерийских техников наземной артиллерии, обеспечить проведение ежегодных тактических учений с боевой стрельбой и выездом на артиллерийский полигон.

Кроме этого необходимо было провести огромный объём работ по капитальному строительству. Он справился с этой задачей блестяще. Вот какая оценка деятельности А. Г. Добринского на посту начальника училища дана в кратком историческом очерке о Тульском высшем артиллерийском инженерном орденов Ленина и Октябрьской Революции училище имени Тульского пролетариата:

«…Генерал А. Г. Добринский обладал большим командирским опытом, фундаментальными военными знаниями, организаторскими способностями, умением сплотить коллектив, идти на обоснованный риск при решении служебных задач. Благодаря оптимизму, открытому характеру, располагающему к широкому общению, он быстро завоевал авторитет и уважение личного состава…»

Краткий исторический очерк о Тульском высшем артиллерийском инженерном орденов Ленина и Октябрьской Революции училище имени Тульского пролетариата.

В 1962 году генерал-майор А. Г. Добринский вышел отставку. Дата и место смерти его неизвестны.